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作者:浑狱弥

[i=s] 本帖最后由浑狱弥于 2012-11-17 12:24 编辑今天上课讲到欧拉—班索的特殊情况，而举出的实例关于纬度变迁引出了同学们的不少疑问。什么是纬度变迁？为什么[tex]\vec\omega[/tex]和[tex]\vec k[/tex]夹角不变，但纬度会发生变化？对于这些疑问，老师并没有做明确解答，下来之后鄙人查了一下有关纬度变迁的资料并结合欧拉—班索情况求解。首先是有关于纬度变迁（latitude variation）的具体定义。在以恒星为标准测定地面纬度，地球上同一点的纬度会随时间变化。而引起这种变化的原因大致可分为两类：钱德勒颤动（Chandler wobble )和蒙气差波动(Irregularities in atmospheric refraction)。目前关于此现象的解释已经非常充分。可参照一篇大众科普文（纬度的变迁）。由此可见，此现象是很复杂且伴随不确定性的周期现象。回到本问题的初始，或者是参照关于Chandler wobble--wiki，还是不难发现这是与欧拉—班索情况相关的。起初欧拉就从公式中推证出其周期为305天，不过论文鄙人不可考，于是自己来重新推证。本现象中假设地球为赤道规则呈圆、两极略短的重刚体，且只受重力，过中心转动。即地球做无外力矩的惯性转动，且[tex]I_x=I_y \ne I_z[/tex]。取惯量主轴为动系坐标系，由欧拉动力学方程得： [tex]\begin{cases} I_x\dot{\omega_x}-\left(I_x-I_y\right)\omega_y\omega_z=0 \\ I_y\dot{\omega_y}-\left(I_z-I_x\right)\omega_z\omega_x=0 \\ I_z\dot{\omega_z}=0 \\ \end{cases}[/tex] 由此可知，[tex]\omega_z=\Omega\left(const\right)[/tex]，即为常数。令：[tex]n=\fac{I_z-I_x}{I_x}\Omega[/tex] 得 [tex]\begin{cases} \dot{\omega_x}=-n\omega_y \\ \dot{\omega_y}=n\omega_x \\ \end{cases}[/tex] 解得此方程组为： [tex]\begin{cases} \omega_x=\omega_0\cos\left(nt+\delta\right) \\ \omega_y=\omega_0\sin\left(nt+\delta\right) \\ \end{cases}[/tex] 因此可知：[tex]\vec\omega^2=\left(\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\omega_0^2+\Omega^2\right)^{\frac{1}{2}}=const[/tex] 即角速度的大小不变，方向随时间变化。取角动量[tex]\vec J[/tex]为静系[tex]\zeta[/tex]轴方向，且[tex]\vec\dot{\phi}\uparrow\uparrow\vec J[/tex] 由欧拉运动学方程： [tex]\vec\dot{\phi}=\dot{\phi}\sin \theta\sin \psi\vec i+\dot{\phi}\sin \theta\cos \psi\vec j+\dot{\phi}\cos \theta\vec k[/tex] [tex]\vec J=J\sin \theta\sin \psi\vec i+J\sin \theta\cos \psi\vec j+J\cos \theta\vec k=J_x\vec i+J_y\vec j+J_z\vec k[/tex] 则，[tex]J\cos \theta=I_z\omega_z[/tex] 由此可依次代入求解，得到：章动：[tex]\theta=\cos^{-1}\left(\frac{I_z\Omega}{J}\right)=\theta_0\left(const\right),\dot{\theta}=0[/tex] 自转：[tex]\psi=\frac{\pi}{2}-\left(nt+\delta \right),\dot{\psi}=-n[/tex] 进动：[tex]\phi=\left(\Omega+nt\right)\sec \theta_0+\phi_0,\dot{\phi}=\frac{\Omega-\dot{\psi}}{\cos \theta}=\sec \theta_0\left(\Omega+nt\right)[/tex] 而其中 [tex]\begin{cases} \omega_x=\omega_0\cos\left(nt+\delta\right) \\ \omega_y=\omega_0\sin\left(nt+\delta\right) \\ \omega_z=\Omega\left(const\right) \end{cases}[/tex] 其中，[tex]\omega_z=\vec\omega \cdot \vec k=\Omega,n=\frac{I_z-I_x}{I_x}\Omega=\frac{1}{300}\Omega,\Omega=\omega\cos{\left(\vec \omega \cdot \vec k\right)\approx\omega[/tex] 于是[tex]T=\frac{2\pi}{n}=305[/tex]天而，将本设定改为[tex]I_x=I_y=I_z[/tex]，则章动、自转均为0，不会形成纬度偏移。欧拉—班索情况的3D图像（顺带吐槽学院所谓的全国唯一）

不过您不是本科读的物理吗

作者:Ekino