拉格朗日方程及哈密顿方程下的守恒律推导 - 喵宅苑 MewoGarden × 技术宅社区II

[i=s] 本帖最后由浑狱弥于 2012-12-8 16:47 编辑

物理学中一些基本的时空对称性与守恒定律

不可观测量	时空对称性	守恒定律
绝对位置/绝对坐标原点	空间平移不变性	动量守恒
绝对时间/绝对时间原点	时间平移不变性	能量守恒
空间绝对方位	空间旋转不变性	角动量守恒
空间左右	空间反演不变性	宇称守恒
正反粒子不可区分	电荷共轭变换	C宇称守恒

本文重点讨论前三种对称性与守恒律在拉格朗日方程和哈密顿方程下的证明方法： 1. 空间平移与动量守恒初设将空间整体平移[tex]\delta\vec r[/tex]，即空间平移不变拉式函数：[tex]\vec r_i \Rightarrow \vec r_i +\delta \vec r[/tex] [tex]\delta L=\displaystyle\sum_{i=0}^N \frac{\partial L}{\partial \delta \vec r_i} \delta \vec r=0[/tex]由于[tex]\delta t\neq 0\Righttarrow \displaystyle\sum \frac{\partial L}{\partial \vec r_i}=0[/tex] [tex]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{\alpha}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=0\Righttarrow p_{\alpha}=p_{\alpha 0}[/tex] 广义动量守恒哈式函数：[tex]\vec r_i \Rightarrow \vec r_i +\delta \vec r[/tex] [tex]\delta H=\displaystyle\sum_{i=0}^N \frac{\partial H}{\partial \delta \vec r_i} \delta \vec r=0[/tex]由于[tex]\delta t\neq 0\Righttarrow \displaystyle\sum \frac{\partial H}{\partial \vec r_i}=0[/tex] [tex]\dot{p_{\alpha}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\Rightarrow p_{\alpha}=p_{\alpha 0}[/tex] 广义动量守恒 2. 时间平移与机械能守恒初设时间平移不变拉式函数：[tex]t \rightarrow t+\delta t \Rightarrow L \rightarrow L+\delta L[/tex] [tex]\delta L=\frac{\partial L}{\partial t}\delta t=0[/tex] 由于[tex]\delta t\neq 0 \Righttarrow \frac{\partial L}{\partial t}=0[/tex] 能量守恒哈式函数：[tex]t \rightarrow t+\delta t \Rightarrow H \rightarrow H+\delta H[/tex] [tex]\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}[/tex] 由于[tex]\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}=0[/tex] 能量守恒 3. 空间旋转不变性与角动量守恒拉式函数：初设[tex]\delta \vec r_i=\delta \vec{\varphi}\times\vec r_i[/tex] [tex]\delta\dot{\vec{r_i}}=\delta\vec{\varphi}\times \dot{\vec{r}}[/tex] [tex]\delta L=\frac{\partial L}{\partial \vec{r_i}}\delta \vec{r_i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{r_i}}}\delta\dot{\vec{r_i}}=0[/tex]代入上式可得： [tex]\delta L=\frac{\partial L}{\partial \vec r}\delta\vec{\varphi}\times\vec{r_i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{r_i}}}\delta\vec{\varphi}\times\dot{\vec{r_i}}[/tex] [tex]=\delta \vec{\varphi} \left( \left( \vec r_i \times \frac{\partial L}{\partial \vec r_i} \right)+\left( \dot{\vec r} \times \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec r_i}}\right)\right)=0[/tex] 即[tex]\delta L=\delta \vec{\varphi} \cdot \left( \vec r_i \times \dot{\vec p_i}+ \dot{\vec r_i} \times \vec p_i \right)[/tex] [tex]=\delta\vec{\varphi}\displaystyle\sum \frac{d}{dt}\left(\vec r_i \times \vec p_i \right)[/tex] [tex]=\delta\vec{\varphi}\frac{d}{dt}\displaystyle\sum \vec J_i=0[/tex] 由于[tex]\delta \vec{\varphi} \neq 0 \Rightarrow \vec J=\displaystyle\sum \vec J_i[/tex] 广义角动量守恒哈式函数：初设[tex]\delta \vec r_i=\delta \vec{\varphi}\times\vec r_i[/tex] [tex]\delta \vec p_i=\delta \vec{\varphi}\times\vec p_i[/tex] [tex]\delta H=\frac{\partial H}{\partial \vec r_i} \delta \vec r_i+ \frac{\partial H}{\partial \vec p_i} \delta\vec p_i=0[/tex] [tex]\delta H=\frac{\partial H}{\partial \vec{r_i}} \delta \vec{\varphi}\times\vec r_i+\frac{\partial H}{\partial \vec p_i}\delta \vec{\varphi}\times\vec p_i}[/tex] [tex]=\delta \vec{\varphi}\left(\left(\vec r_i \times \frac{\partial H}{\partial \vec r_i}\right)-\left(\vec p_i\times\frac{\partial H}{\partial \vec p_i}\right)\right)[/tex] [tex]=\delta \vec{\varphi}\left(\left(\vec r_i \times \dot{\vec p_i}\right)+\left(\dot{\vec r_i}\times\vec p_i\right)\right)[/tex] [tex]=\delta\vec{\varphi}\displaystyle\sum \frac{d}{dt}\left(\vec r\times\vec p_i\right)[/tex] [tex]=\delta\vec{\varphi}\frac{d}{dt}\displaystyle\sum \vec J_i=0[/tex] 由于[tex]\delta\vec{\varphi} \neq 0 \Rightarrow \vec J=\displaystyle\sum \vec J_i[/tex] 广义角动量守恒

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