巴拿赫空间有两种常见的类型：“实巴拿赫空间”及“复巴拿赫空间”，分别是指将巴拿赫空间的向量空间定义于由实数或复数组成的域之上。
许多在数学分析中学到的无限维函数空间都是巴拿赫空间，包括由连续函数（紧致赫斯多夫空间上的连续函数）组成的空间、由勒贝格可积函数组成的Lp空间及由全纯函数组成的哈代空间。上述空间是拓扑向量空间中最常见的类型，这些空间的拓扑都自来其范数。 赋予范数的完备的线性空间。范数是通常熟悉的长度概念的拓广。一个数域 K上的线性空间X，如有从X到R的函数‖·‖，满足:‖x‖≥0，‖x‖＝0Ûx为零元；‖a x‖＝｜a｜‖x‖， a ∈K； ‖x＋y‖ ≤ ‖x‖ ＋‖y‖，则称‖·‖为X上的一个范数。例如在R中，让每一元x与‖x‖＝｜x｜对应，这里｜x｜表示通常的绝对值，则‖·‖为R 上的一个范数。又如，设 X ＝｛f：f为定义在 [a， b] 上的连续函数｝，在X中引入加法和数乘如下：f，g∈x，（f＋g）（t）＝f（t）＋g（t），（a f）（t）＝a·f（t），则 X成为线性空间，又对每一f ∈X，定义
，则可以验证‖·‖为X上的一个范数，故X是线性赋范空间，并且每一｛fn｝ÌX，若其为基本列，即‖fm－fn‖→0，则必有f ∈x，使‖fn－f‖→0。所以X是巴拿赫空间。”!053~ 巴拿赫空间引论.pdf(7.37MB)
，则可以验证‖·‖为X上的一个范数，故X是线性赋范空间，并且每一｛fn｝ÌX，若其为基本列，即‖fm－fn‖→0，则必有f ∈x，使‖fn－f‖→0。所以X是巴拿赫空间。”!053~ 巴拿赫空间引论.pdf(7.37MB)
